一道复数的数学竞赛小题。高手进。 已知实数r＞1,若复平面上的点动点z满足,Z的绝对值为r,则动点
楼主你好，首先，我们假设z=x+yi，由于z+2i为实数，即x+(y+2)i是实数，因此虚部应为0，所以y=-2，而z/2-i为实数，即(x-2i)/(2-i)=[(x-2i)(2+i)]/[(2-i)(2+i)]=(2x+xi-4i+2)/5=[(2x+2)+(x-4)i]/5为实数，同样的，虚部也为0，即x=4。所以我们得到了z=4-2i。
而(z+ai)^2=(4-2i+ai)^2=[4+(a-2)i]^2=16-(a-2)^2+2*4*(a-2)i在第一象限，因此实部和虚部都应该大于0，即16-(a-2)^2>0，且2*4*(a-2)>0。通过第二个不等式，可以得到a>2，因此16-(a-2)^2>0即16>(a-2)^2，即4>(a-2)，即a<6。综上述，得到2<a<6。即a为满足2<a<6的任意实数。
解毕，望楼主采纳。
设z=a+bi,a,b为实数,则：a^2+b^2=1
z+1/z=a+bi+1/(a+bi)
=a+bi+(a-bi)/[(a+bi)(a-bi)]
=a+bi+(a-bi)/(a^2+b^2)
=2a为实数
|z|^2=x'^2+y'^2=r^2>1
z+1/z=x'+y'i+1/(x'+y'i)
=x'+y'i+(x'-y'i)/r^2
=x'(1+1/r^2)+y'(1-1/r^2)i
∴x=x'(1+1/r^2)
y=y'(1-1/r^2)
∴x'=r^2*x/(r^2+1) ①
y'=r^2*y/(r^2-1) ②
①^2+②^2:
x'^2+y'^2=r^4/(r^2+1)^2*x^2+r^4/(r^2-1)^2*y^2=r^2
∴r^2/(r^2+1)^2*x^2+r^2/(r^2-1)^2*y^2=1
轨迹为椭圆
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