初三数学题：有关圆
圆考查垂径定理，圆周长圆面积，圆的基本性质，圆常见的辅助线1：连接圆心和切点，2：过圆点作弦的垂线。
（1）解：连接OB ，BC
因为PA ,PB是圆O的切线
所以角OBP=角OAP=角CAB+角PAB=90度
PA=PB
所以三角形PAB是等腰三角形
因为角CAB=30度
所以角PAB=60度
所以三角形PAB是等边三角形
所以角APB=60度
（2）解：因为OA=OB
OP=OP
PA=PB（已证）
所以三角形OAP和三角形OBP全等（SSS）
所以角OPA=角OPB=1/2角APB
因为三角形PAB是等边三角形
所以OP是等边三角形PAB的角平分线
所以OP是等边三角形PAB的角平分线，中线，垂线
所以PA=BA
角APB=60度
角OPA=1/2角APB=30度
AE=BE=1/2AB
角AEO=90度
因为角CAB=30度
所以角CAB=角OPA=30度
因为AB是圆O的直径
所以角CBA=90度
因为角OAP=90度（已证）
所以角CBA=角OAP=90度
所以三角形ABC和三角形PAO全等（ASA）
所以OA=BC
AC=OP
因为AC=8cm
所以OP=8cm
（3）解：因为角ABC=90度（已证）
所以三角形ABC是直角三角形
因为角CAB=30度
所以BC=1/2AC
因为AC=8cm
所以BC=4cm
所以角ABC=角AEO=90度(已证）
所以OE平行BC
所以OE=1/2BC=2cm
因为OP=OE+PE=8cm
所以PE=6cm
(4)解：因为OP是等边三角形PAB的垂线（已证）
所以S三角形ABP=1/2AB*PE
因为三角形ABC是直角三角形（已证）
所以AB^2+BC^2=AC^2
因为AC=8cm
BC=4cm（已证）
所以AB=4倍根号3 cm
所以S三角形ABP=12倍根号3 cm^2
所以三角形ABP的面积是12倍根号3 cm^2
∵AB是⊙O的切线 B为切点,∴OB⊥AB,△OAB是直角三角形
而OB=1,OA=2∴∠OAB=30度,∠AOB=60度,延长AB=√3
设AO交⊙O于F,延长AO交⊙O于D,∵BC‖OA ∴弧FB=弧CD
∴∠AOB=∠COD=60度 ∴∠COB=60度,
又∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形∴BC=OB=1
过A点作△ABC的BC边高(在形外)交CB延长线于E,
∵BC//OA, ∴∠ABE=∠OAB=30度
∴高AE=(1/2)AB=(1/2)√3,
∴△ABC的面积=(1/2)BC×AE
=(1/2)×1×(1/2)√3
=(1/4)√3,
即阴影部分的面积是(1/4)√3.
新年快乐！
过B点做AO的垂线（BE）
OB=1, OA=2, 三角形ABO是一个 角BOA是60度的直角三角形，
所以BE= 1 * sin(60) = (根号3) / 2
因为BC平行于AO, 所以角CBO= BOA =60, 三角形BOC是等边三角形， BC=1
S(acb) = ( BC * BE)/2 = ( 1 * BE)/2 = （根号3）/4
连接CO交AE于点F。弧AC与弧CE相等所以角AOC与角COE相等，CO=EO=半径，角CDO等于角EFO，所以三角形CDO全等于三角形EFO。所以CD等于EF，又因为EF等于AF所以AE=2CD
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