怎样证明e的x次方减一与x等阶？和1+x的n次方根减一与x / n等阶(n∈自然数)？《高等数学——极限》高手帮忙
include
long float fun(int n) //求阶乘函数
{
if(n>1)
return n*fun(n-1);
else
return 1;
}
long float fun1(int x,int n) //求x的n次方函数
{
long float i;
long float sum=1;
if(n>=1)
for(i=1;i<=n;i++)
sum*=x;
else
sum=1;
return sum;
}
main()
{
int x,i=1;
long float sum=1,s;
printf("请输入x:
");
scanf("%d",&x);
for(i=1;i<150;i++) //n最大取值为149...
sum+=fun1(x,i)/fun(i);
printf("e的%d次方的值为：%f
", x,sum);
}
完整的java程序，可单独运行。也可将x值改为动态输入的，那样会更灵活一些！
public class Ex {
public static void main(String[] args) {
float e=2.718281828459045f;
int x=1;//可修改x的值进行测试
float sum=calculateEX(x);
System.out.println("结果 >> e^"+x+"="+sum);
}
//计算e的x次方
public static float calculateEX(int x){
float result=0f;
for(int i=0;i<20;i++){
result+=f1(x,i)/(float)f2(i);
}
return result;
}
//计算x的n次方
public static int f1(int x,int n){
if(n==0){
return 1;
}
for(int i=0;i<n-1;i++){
x*=x;
}
return x;
}
//计算n的阶乘
public static int f2(int n){
if(n<=0){
return 1;
}
else {
return n=n*f2(n-1);
}
}
}
换元：令e^x-1=t，则x--->0时，t---->0，x=ln(1+t)
=lim[t--->0] ln(1+t)/t
=lim[t--->0] (1/t)ln(1+t)
=lim[t--->0] ln[(1+t)^(1/t)]
=lne
=1
因此：e^x-1与x等价
2、n次方差公式：由于(a-1)[a^(n-1)+a^(n-2)+...+a+1]=aⁿ-1
则：a-1=(aⁿ-1)/[a^(n-1)+a^(n-2)+...+a+1]
将a换成(1+x)^(1/n)，得：(1+x)^(1/n)-1=x/[(1+x)^((n-1)/n)+(1+x)^((n-2)/n)+...+(1+x)^(1/n)+1]
lim [(1+x)^(1/n)-1]/(x/n)
将分子换成：x/[(1+x)^((n-1)/n)+(1+x)^((n-2)/n)+...+(1+x)^(1/n)+1]
则x与分母的x消去
=lim n/[(1+x)^((n-1)/n)+(1+x)^((n-2)/n)+...+(1+x)^(1/n)+1]
将x=0代入上式
=lim n/(1+1+...+1)
=1
因此：(1+x)^(1/n)-1与x/n等价。
用泰勒公式一步就得出来了。用带o()的那个。叫皮亚诺余项吧。
这是高数里的等价无穷小啊，用洛必达法则啊
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