三道高中数学题
1.(1)设甲、乙开始运动后，x分钟相遇
甲每分钟走的路程呈等差数列排列
则甲第x分钟走：2+1×(x-1)=x+1 米
甲走的总路程是：(2+x+1)x/2=x(x+3)/2 米
∴5x+x(x+3)/2=70
10x+x²+3x=140
x²+13x-140=0
(x+20)(x-7)=0
x=-20（舍） 或 x=7
答：甲、乙开始运动后，7分钟相遇。
(2)设甲、乙开始运动后，x分钟第二次相遇
5x+x(x+3)/2=70×3
10x+x²+3x=420
x²+13x-420=0
(x+28)(x-15)=0
x=-28（舍） 或 x=15
答：甲、乙开始运动后，15分钟第二次相遇。
2.(1)向量M+向量N=(cos3A/2+cosA/2，sin3A/2+sinA/2)
｜M+N｜²
=(cos3A/2+cosA/2)²+(sin3A/2+sinA/2)²
=cos²3A/2+2cos3A/2cosA/2+cos²A/2+sin²3A/2+2sin3A/2sinA/2+sin²A/2
=(cos²3A/2+sin²3A/2)+(cos²A/2+sin²A/2)+2(cos3A/2cosA/2+sin3A/2sinA/2)
=1+1+2cos(3A/2-A/2)
=2+2cosA
=3
cosA=1/2
A=π/3
(2)b+c=√3a
(b+c)²=3a²
a²=(b+c)²/3
而cosA=(b²+c²-a²)/2bc
=[b²+c²-(b+c)²/3]/2bc
=[3b²+3c²-(b+c)²]/6bc
=[3b²+3c²-(b²+2bc+c²)]/6bc
=(2b²-2bc+2c²)/6bc
=1/2
2b²-2bc+2c²=3bc
2b²-5bc+2c²=0
(b-2c)(2b-c)=0
b=2c 或 b=c/2
当b=2c时，a²=(b+c)²/3=(2c+c)²/3=3c²
a²+c²=3c²+c²=4c²=b²
△ABC是以∠C为直角的直角三角形
当b=c/2时，a²=(b+c)²/3=(c/2+c)²/3=3c²/4
a²+b²=3c²/4+c/4²=c²
△ABC是以∠B为直角的直角三角形
终上所述：△ABC是直角三角形
3.(1)证明：S(n+1)-Sn
=[(a(n+1)+1)/2]²-[(an+1)/2]²
=[a²(n+1)+2a(n+1)+1]/4-(a²n+2an+1)/4
=a(n+1)
4a(n+1)=[a²(n+1)+2a(n+1)+1]-(a²n+2an+1)
a²n+2an+1=a²(n+1)-2a(n+1)+1
(an+1)²=[a(n+1)-1]²
∵{an}的各项为正数
∴an+1>0 a(n+1)+1>0
即an+1=a(n+1)-1
则a(n+1)-an=2
所以数列{an}是等差数列
首项a1=S1=[(a1+1)/2]²
4a1=(a1+1)²
4a1=a²1+2a1+1
a²1-2a1+1=0
(a1-1)²=0
a1-1=0
a1=1
公差为2
则通项公式an=1+2(n-1)=2n-1
(2)bn=10-an=10-(2n-1)=11-2n
b1=11-2=9
b(n+1)-bn=[11-2(n+1)]-(11-2n)=-2
数列{bn}是首项为9，公差为-2的等差数列
Tn=(9+11-2n)n/2=n(20-2n)/2=-n²+10n
令bn≥0
即11-2n≥0
解得：n≤11/2
即当n=5时，Tn取得最大值
T5=5×(20-10)/2=25
(3)设数列{｜bn｜}的前n项和是Pn
当n≤5时，bn>0
|bn|=bn
则Pn=Tn=-n²+10n
当n≥6时，bn<0
|bn|=|11-2n|=2n-11
从|b6|开始，|bn|是公差为2的等差数列
|b6|+|b7|+|b8|+……+|bn|
=1+3+5+……+(2n-11)
=(1+2n-11)(n-5)/2
=(2n-10)(n-5)/2
=(n-5)²
=n²-10n+25
则Pn=T5+|b6|+|b7|+|b8|+……+|bn|
=25+n²-10n+25
=n²-10n+50
第一道是a=2的多少次方
1) 直线方程为 ax-y+2=0，代入双曲线方程消去y得3x^2-(ax+2)^2=1
(3-a^2)x^2-4ax-5=0
Δ=(-4a)^2-4(3-a^2)*(-5)=-4a^2+60>0 且 3-a^2≠0
解得 -√15<a<-√3或-√3<a<√3或√3<a<√15
2) 直线L1、L2间的距离为 d=|3-1|/√2=√2
由于m被L1、L2截得线段长为2√2，所以 m 与L1、L2夹角为30°，
而L1的倾斜角为 45°，
所以，m的倾斜角为 15°或75°
3) 抛物线的焦点（1/2，0），准线为x=-1/2，
设P在准线上的射影为P1
由定义，P到F的距离等于P到准线的距离，即|PA|=|PP1|，
所以，|PA|+|PF|最小时，PA的连线与准线垂直，
也就是：P是过A向准线作垂线时，垂线与抛物线的交点，
由此可知，P的纵坐标与A的纵坐标相等，
选B。
1.y=ax+2
3xx-(ax+2)(ax+2)=1
(3-aa)xx-4ax-5=0
再算一下DELTA就得到了a的范围
Q
Q3：将焦点F关于Y轴对称过去，得到点F‘（-1/2,0），再与点A（3,2）求出直线AF’的解析式，再与抛物线联立方程组，焦点便是P点。
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