求助 奥数 把190表示成n个连续自然数的和 有几种表达方式？ 我要分析过程
作者：佚名 更新日期：2025-06-15
既然说连续，那就排除190 = 190 这种赖皮方式了。即讨论当N≥2时。
设连续N个自然数的最小数为X，则最大数为X + N - 1
连续自然数的和
= X + X + 1 + …… + X + N - 1
= (X + X + N - 1)N/2
= (2X + N - 1)N/2
并且，因2X恒为偶数，则N、N-1的奇偶性必然互异，
即N、2X + N - 1奇偶性互异。且2X + N - 1 > N
190 = 2×5×19
(2X + N - 1)N/2 = 190
因此有：(2X + N - 1)N = 2×2×5×19
根据奇偶性互异，两个因数2必然不能分别在N、2X + N - 1中，因此有方程组：
①
2X + N - 1 = 95
N = 4
解得X = 46
②
2X + N - 1 = 20
N = 19
解得X = 1
③
2X + N - 1 = 76
N = 5
解得X = 36
④
2X + N - 1 = 380
N = 1
解得X = 190（一开头提到的一个数字相加等于190的情况，舍弃）
综上，有：
190 = 46 + 47 + 48 + 49
190 = 1 + 2 + 3 + …… + 19
190 = 36 + 37 + 38 + 39 + 40
设表示成了n个连续自然数的和，第一个是k
最后一个是k+n-1
那么有 (2k+n-1)n/2=190
即 (2k+n-1)n=380
那么n必须为380的约数
380的约数有 而且左边是>=n²的
所以n²<=380 n<=根号380
由于n是整数 所以 n<=19
那么 380不超过19的约数有
1,2,4,5,10,19
代入可以得到对应的k值为
1对应190
2对应无解
4对应46
5对应36
10对应无解
19对应1
没有排除一个等于190的情况
所以有4种办法
设符合条件的第一个数为k,则n个连续自然数的和为：n*（n+k）/2=190
所以n*n < n*（n+k）=380 得n<20
当n=1时 表示为 190
当n=2 时 连续自然数和为奇数，不成立（同理 n=4*i+2，即n=1,5,9...时均不成立）
当n=3 时，中间数为190/3，有余数，所以不成立（同理 n=4*i+3，即n=3,7,11...时均不成立）
当n=4 时，46,47,48,49
当n=5 时，36,37,38,39,40
当n=8 时，总平均值为23.75，说明中间两数和不为整数，不成立
当n=9 时，中间数为190/3，有余数，不成立。
当n=10时， 均值为19，中间两数和为38，不为奇数，不成立。
当n=12，13，15,17时，均值为循环小数，不成立
当n=16时，均值（中间两数的均值）为11.85不成立
当n=19时：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19
所以只有以上的写法了。
求助 奥数 把190表示成n个连续自然数的和 有几种表达方式？ 我要分析过程~
设连续N个自然数的最小数为X，则最大数为X + N - 1
连续自然数的和
= X + X + 1 + …… + X + N - 1
= (X + X + N - 1)N/2
= (2X + N - 1)N/2
并且，因2X恒为偶数，则N、N-1的奇偶性必然互异，
即N、2X + N - 1奇偶性互异。且2X + N - 1 > N
190 = 2×5×19
(2X + N - 1)N/2 = 190
因此有：(2X + N - 1)N = 2×2×5×19
根据奇偶性互异，两个因数2必然不能分别在N、2X + N - 1中，因此有方程组：
①
2X + N - 1 = 95
N = 4
解得X = 46
②
2X + N - 1 = 20
N = 19
解得X = 1
③
2X + N - 1 = 76
N = 5
解得X = 36
④
2X + N - 1 = 380
N = 1
解得X = 190（一开头提到的一个数字相加等于190的情况，舍弃）
综上，有：
190 = 46 + 47 + 48 + 49
190 = 1 + 2 + 3 + …… + 19
190 = 36 + 37 + 38 + 39 + 40
设表示成了n个连续自然数的和，第一个是k
最后一个是k+n-1
那么有 (2k+n-1)n/2=190
即 (2k+n-1)n=380
那么n必须为380的约数
380的约数有 而且左边是>=n²的
所以n²<=380 n<=根号380
由于n是整数 所以 n<=19
那么 380不超过19的约数有
1,2,4,5,10,19
代入可以得到对应的k值为
1对应190
2对应无解
4对应46
5对应36
10对应无解
19对应1
没有排除一个等于190的情况
所以有4种办法
设符合条件的第一个数为k,则n个连续自然数的和为：n*（n+k）/2=190
所以n*n < n*（n+k）=380 得n<20
当n=1时 表示为 190
当n=2 时 连续自然数和为奇数，不成立（同理 n=4*i+2，即n=1,5,9...时均不成立）
当n=3 时，中间数为190/3，有余数，所以不成立（同理 n=4*i+3，即n=3,7,11...时均不成立）
当n=4 时，46,47,48,49
当n=5 时，36,37,38,39,40
当n=8 时，总平均值为23.75，说明中间两数和不为整数，不成立
当n=9 时，中间数为190/3，有余数，不成立。
当n=10时， 均值为19，中间两数和为38，不为奇数，不成立。
当n=12，13，15,17时，均值为循环小数，不成立
当n=16时，均值（中间两数的均值）为11.85不成立
当n=19时：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19
所以只有以上的写法了。
求助 奥数 把190表示成n个连续自然数的和 有几种表达方式？ 我要分析过程~
既然说连续，那就排除190
=
190
这种赖皮方式了。即讨论当N≥2时。
设连续N个自然数的最小数为X，则最大数为X
+
N
-
1
连续自然数的和
=
X
+
X
+
1
+
……
+
X
+
N
-
1
=
(X
+
X
+
N
-
1)N/2
=
(2X
+
N
-
1)N/2
并且，因2X恒为偶数，则N、N-1的奇偶性必然互异，
即N、2X
+
N
-
1奇偶性互异。且2X
+
N
-
1
>
N
190
=
2×5×19
(2X
+
N
-
1)N/2
=
190
因此有：(2X
+
N
-
1)N
=
2×2×5×19
根据奇偶性互异，两个因数2必然不能分别在N、2X
+
N
-
1中，因此有方程组：
①
2X
+
N
-
1
=
95
N
=
4
解得X
=
46
②
2X
+
N
-
1
=
20
N
=
19
解得X
=
1
③
2X
+
N
-
1
=
76
N
=
5
解得X
=
36
④
2X
+
N
-
1
=
380
N
=
1
解得X
=
190（一开头提到的一个数字相加等于190的情况，舍弃）
综上，有：
190
=
46
+
47
+
48
+
49
190
=
1
+
2
+
3
+
……
+
19
190
=
36
+
37
+
38
+
39
+
40
设表示成了n个连续自然数的和，第一个是k
最后一个是k+n-1
那么有
(2k+n-1)n/2=190
即
(2k+n-1)n=380
那么n必须为380的约数
380的约数有
而且左边是>=n²的
所以n²<=380
n<=根号380
由于n是整数
所以
n<=19
那么
380不超过19的约数有
1,2,4,5,10,19
代入可以得到对应的k值为
1对应190
2对应无解
4对应46
5对应36
10对应无解
19对应1
没有排除一个等于190的情况
所以有4种办法
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